考好 DSE 數學,最重要的第一步係減少自己犯的 careless mistakes。今日 NoteSity 小編邀請了 Plane Sir 為大家講解一下。每次詢問新學生在數學科上的疑難時,學生很多時候的答覆均是自己有很多 "Careless Mistakes",唔小心錯。但經過筆者一輪觀察後,得出的結論卻是學生其實是錯concept。

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如何避免Careless Mistakes?

  1. 什麼是Careless Mistake?
  2. 常見錯誤一:項的數量的重要性
  3. 常見錯誤二:正負號
  4. 常見錯誤三:四則運算調調調
  5. 常見錯誤四:答案的有效性
  6. 計算機驗算大全

 

1. 什麼是Careless Mistake?

Careless Mistake 的例子有處理不等式 (inequality) 的題目時,沒有轉大過/細過的符號,很多時不是因為忘記了,反而是因為誤以為只在有負號時才會轉符號,見下例。

所以第一件事要注意的,不是怎樣避免Careless Mistake,而是需要分清楚自己是錯Concept,還是Careless Mistake。

第二件事就是要改變對於改善Careless Mistake 的觀念,不是放慢做題目的速度以及多留心就能改善,而是要改變自身做題目的習慣才能有明顯的進步。

亞里士多德:「做一件好事並不難,難的是養成一種做好事的習慣。」

希望各位看畢這篇文章不只是有「哦,原來如此」的感覺,更會有決心、恆心去改善陋習,相信此舉必定能助你在學業上更進一步!

言歸正傳,於筆者而言,Careless Mistake只有小部分是屬於無法即時避免的,例如抄錯題目或數字,要減少這類型的錯誤,唯有養成良好生活習慣以保持最佳狀態,筆者都略有研究,不過就留待下次機會才與各位分享;而大部分的Careless Mistake均源於做題目時的一些不太起眼的細節,例如項的數量 (no of terms)、每個項的正負號以及答案的有效性,還有就是嫌麻煩不肯使用計算機作驗算。

若然運算要精準,不只是要最後答案正確,而是在運算過程中每一步都有清晰的目標,不作多餘的步驟,計算到最終答案後亦有方法能夠自行驗算肯定答案方為上品。

接下來,筆者會逐一講解。

 

2. 常見錯誤一:項的數量的重要性
不知道各位還記不記得這三條恆等式,分別是兩個數之和的平方、兩個數之差的平方及兩個數的平方之差。有時候筆者覺得在課程中要求大家死記硬背這些公式反而害了大家,因為有很多人都會忘記公式背後的概念,繼而影響的,不只是背錯公式時所帶來的問題,更令大家忘記背後的概念。

其實這些恆等式的主要概念只有一個,就是乘法分配性質 (Distributive law of multiplication)。

其實所謂公式就是將一些比較實用的概念應用,省去中間的步驟,然後要大家背誦。當然筆者不反對要背公式,畢竟本來這些公式就是概念的應用,筆者要強調的,是大家也要明白公式背後的概念。

如果大家細心留意,會發現以上四條算式都有一個共通點,就是一拆開所有括號後會有4個項!這會不會只是巧合,還是當中有既定的規律?請看看下面例子。

原來當2個項乘2個項時,結果會有4個項;當2個項乘3個項時,結果會有6個項;當2個項乘4個項時,結果會有8個項。不知道大家能否看出當中規律,就是當m個項乘n個項時,初步結果就會有m乘n個項,當然實際計算答案時我們需要將所有同類項放到一起作化簡,不過這就是後話了。若然大家拆括號時項的數量與預期不相符,那麼繼續化簡也是徒勞無功。

以下是一些有關項的數量的例子:

 

3. 常見錯誤二:正負號的進階應用

正正得正,正負得負,負正得負,負負得正。這4句有關正負號的口訣,相信中一時大家已經琅琅上口,也不用筆者多說了。其實這個所謂進階應用就是大家在拆括號最後一步時會常遇到的問題,其實背後的概念也是乘法分配性質,只不過實在是太多人在這個位置出錯,所以一定要分別處理。首先來一個簡單的例子:

大家今次看得出這三條算式的共通點嗎?為了方便大家觀察,特地將平時隱形的第一個項的正號都寫了出來。答案揭曉,就是當括號內的項的正負號一樣時,拆括號後的正負號都會一樣;反之,當括號內的項的正負號不同時,拆括號後的正負號就會不同。換句話說,同一括號內的正負號「相對不變」,若本來正負號一樣,拆括號後亦會相同,反之亦然,這就是正負號的進階應用。

所以實際做題目拆括號時本人也會先將全部正負號寫出,然後將括號內的項逐個乘以括號前的數值寫出,完成計算。雖然此舉好像會多花時間,但是實際卻不然,因為其實這做法可以達致一個分工合作的效果,一來判斷過程會因多練習而越做越快越準,二來在運算上亦多了一個檢查點,能夠發現到錯誤的機會亦有所提升,減少 Careless Mistake。

 

4. 常見錯誤三:四則運算調調調

第三個常見錯誤源於大家做方程式時的口頭譂,就是無論加減乘除,大家在上中學後,都會以單一個字「調」來代替。當然筆者明白,在溝通上能夠用一個字來表達四個字的意思,的確是十分方便,不過最怕大家潛移默化,最後「禍從口出」,連基本的四則運算都變得一塌糊塗,得不償失。事實上,筆者遇過不少運算不好的學生,就是將加減乘除變成調調調調,而且不願意改變說法,結果考試成績一直沒有進步。正如之前所說,不改變習慣是不可能有進步的。

大家會將調調調調掛在口邊,主要是因為在中學時教方程式大多教授移項,而移項背後的概念是天秤法,小學時初接觸方程式時就是學習天秤法,也就是設立方程式後,在方程式左右兩邊的運算需要完全一樣,就好像是將天秤永遠保持兩邊平衡的狀態。

從以上例子,大家可以知道用了錯誤方法去學移項,後果可以是十分嚴重。筆者在這裹提供兩個建議:一、在思想上用天秤法去處理有關方程式的運算,也就是永遠左右兩邊要做相同的運算;二、應對方程式的問題時要有既定的系統去處理,筆者習慣以口訣形式去方便記憶。

這個方法固然不是每題最快的做法,卻是一個應用廣泛而且有系統的做法,可以協助大家重新打好基礎,一步步重回正軌。只要大家將以上3種常見錯誤及時糾正過來,在運算應該已經問題不大,接下來就要勤加練習,加快速度,在考試上定必能夠獲取滿意的成績!

 

5. 常見錯誤四:答案的有效性
第四個常犯錯誤多數出現在應用題,主要是忘了捨去答案或是忘了計算另一答案。例如大家在應用題計算答案後,將所得出的答案代至題目當中的資訊或是算式中以檢查答案的合理性,如邊長、角度等量度必定是正數,若計算結果會導致該些量度變為負數的話,便需要捨去該答案。不過要注意一點,計算結果為負數不一定會導致量度為負數。

在這例子中,10 才是要被捨去的值,而不是 –2,因為前者會導致負數的正方形邊長,而這是不合理的。而同一例子都示範了第二個在計算二次方程時的注意事項,就是將兩邊同時開方時,算式會變成兩條,一條等於開方後的正值,而另一條等於開方後的負值。

而第二個情況則是在使用正弦公式 (Sine formula) 計算角度的值時,謹記要同時計算另一個答案,也就是用 180度減去計算機所得出的數值。

有時候,題目會指明該角度是銳角 (acute angle) 還是鈍角 (obtuse angle),需要按情況捨去其中一個答案,請多加注意!

 

6. 計算機驗算大全

工欲善其事,必先利其器。在數學考試上,器當然是指大家手上的計算機。到本文最後一個部分,亦是筆者覺得各位同學最需要留意的一環,因為在考試中形形色色的題目其實都可以用計算機配合代數的方式作出驗算,更甚可以配合大家自訂的計算機程式,在某些的題目檢查答案,以確保答案正確無誤。一般的運算題的驗算原理很簡單,只要將答案代入至最初的方程或算式,若然代入後左邊等於右邊便代表無有運算上的錯誤。不過如果是一開始的算式寫錯了,即便是沒有運算錯誤也會失去分數,所以即使肯花時間作驗算,都要小心看清楚題目。

然而,在多項式 (polynomials) 的題目中,應在做長除 (long division) 時先驗算一次,然後才繼續完成題目,因為長除的結果對與否對該題目影響頗大,最誇張可以有3分之差,所以不容有失。

若在計算機中有設定自訂程式的話,亦可根據程式用途作不同驗算。惟坊間所用程式實在多得令人眼花瞭亂,所以不能盡量,筆者在此僅提醒一下各位同學在使用程式驗算時要留意的地方。首要的當然是該程式的輸入格式,其次就是要自行按情況分析程式的計算結果。以下會以直線與圓形的相交點作一個簡單例子。

希望以上心得分享可以幫助到大家,可以讀得更輕鬆及更有效率!
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關於導師 Plane Sir:
– Plane Sir 由高中開始累積教學經驗,門生破百
– 精於鑽研試卷,找出有效方法助學生解答問題
– 現為全職導師,於旺角/西半山自設教室
– 2018、2019DSE累積不少奪星學生(>20)
– 筆記備有網上重溫,也有wts線上解答
– 更可享免費網上試題庫 (不限於DSE PP)

Plane Sir 戰績:
– CE 3A (Maths, Phy, PA)
– AL 3A (Econ, PA, M&S)
– DSE Math 及 M1 5**

 

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